■ユークリッド原論と多重根号数(その19)

[1]√(1-√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))))=1/2

[2]3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2

もラマヌジャンの式である.

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[1]

  √(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=φ  (黄金比)

ならば

  √(1+x)=x → x^2-x-1=0

として2次方程式の解より求めることができる.

 しかし,この方法は使えなさそうなので,答えから逆にたどってみたい.

1-√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・)))=1/4

√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・)))=3/4=1-1/2^2

1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))=9/16

√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))=7/8=1-1/2^3

1-1/4√(1-1/8√1-・・・)=49/64

√(1-1/8√1-・・・)=15/16=1-1/2^4

1-1/8√1-・・・=225/256

√1-・・・=31/32=1-1/2^5

{1-1/2^n-1(√1-・・・)}^1/2=1-1/2^n

が証明できればよいことになる.

[証]n→∞のとき

(√1-・・・)→1

{1-1/2^n-1(√1-・・・)}^1/2→1-1/2^n

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[2]

(a+2)^3=a+2+(a+1)(a+2)(a+3)より,根号の中の式を書き換えて

  a(a+2)=a3√(a+2)^3=a3√(a+2+(a+1)(a+2)(a+3))

(a+3)^3=a+3+(a+2)(a+3)(a+4)より

  a(a+2)=a3√(a+2+(a+1)(a+2)3√(a+3+(a+2)(a+3)(a+4))

 しかし,これを繰り返しても,a+2→a+3→・・・となってしまう.この方法は使えなさそうなので,答えから逆にたどってみたい.

 3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2

 -6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・)))=-8

 3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・)))=-2

となって,正しいことが確認される.

 一般に

 3√(-a+3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・))))=-b

 -a+3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・)))=-b^3

 3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・)))=-b^3+a

-b=-b^3+a→a=b^3-bであればよいことになる.

 b=1とおくとa=0であるから,b=2とおくと

 3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2

b=3とおくと

 3√(-24+3√(-24+3√(-24+3√(-24+・・・))))=-3

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