[1]√(1-√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))))=1/2
[2]3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2
もラマヌジャンの式である.
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[1]
√(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=φ (黄金比)
ならば
√(1+x)=x → x^2-x-1=0
として2次方程式の解より求めることができる.
しかし,この方法は使えなさそうなので,答えから逆にたどってみたい.
1-√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・)))=1/4
√(1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・)))=3/4=1-1/2^2
1-1/2√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))=9/16
√(1-1/4√(1-1/8√1-・・・))=7/8=1-1/2^3
1-1/4√(1-1/8√1-・・・)=49/64
√(1-1/8√1-・・・)=15/16=1-1/2^4
1-1/8√1-・・・=225/256
√1-・・・=31/32=1-1/2^5
{1-1/2^n-1(√1-・・・)}^1/2=1-1/2^n
が証明できればよいことになる.
[証]n→∞のとき
(√1-・・・)→1
{1-1/2^n-1(√1-・・・)}^1/2→1-1/2^n
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[2]
(a+2)^3=a+2+(a+1)(a+2)(a+3)より,根号の中の式を書き換えて
a(a+2)=a3√(a+2)^3=a3√(a+2+(a+1)(a+2)(a+3))
(a+3)^3=a+3+(a+2)(a+3)(a+4)より
a(a+2)=a3√(a+2+(a+1)(a+2)3√(a+3+(a+2)(a+3)(a+4))
しかし,これを繰り返しても,a+2→a+3→・・・となってしまう.この方法は使えなさそうなので,答えから逆にたどってみたい.
3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2
-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・)))=-8
3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・)))=-2
となって,正しいことが確認される.
一般に
3√(-a+3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・))))=-b
-a+3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・)))=-b^3
3√(-a+3√(-a+3√(-a+・・・)))=-b^3+a
-b=-b^3+a→a=b^3-bであればよいことになる.
b=1とおくとa=0であるから,b=2とおくと
3√(-6+3√(-6+3√(-6+3√(-6+・・・))))=-2
b=3とおくと
3√(-24+3√(-24+3√(-24+3√(-24+・・・))))=-3
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