■もうひとつのバーゼル問題(その18)

 −log(1−x)/x=1+x/2+x^2/3+x^3/4+・・・

 −∫log(1−x)dx/x=x+x^2/2^2+x^3/3^2+x^4/4^2+・・・

 左辺を部分積分すれば,

  −[logxlog(1−x)]−∫logxdx/(1−x)

区間{0,1/2)で積分すれば

−[logxlog(1−x)]=−{log(1/2)}^2

−∫(0,1/2)logxdx/(1−x)

=−∫(1/2,1)log(1−x)dx/x

=x+x^2/2^2+x^3/3^2+x^4/4^2+・・・

=I2−I

 これで

I=−(log2)^2+I2−I,すなわち,

Σ1/k^22^k=π^2/12−1/2・(log2)^2

が得られたことになる.

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