■もうひとつのバーゼル問題(その14)

[1]Σ1/n=∞  (オレーム)

[2]Σ(−1)^n/(2n+1)

=1−1/3+1/5−1/7+1/9−1/11+1/13−1/15+・・・=π/4  (グレゴリー・ライプニッツ)

[3]Σ{1/(8n+1)+1/(8n+3)−1/(8n+5)−1/(8n+7)}

=1+1/3−1/5−1/7+1/9+1/11−1/13−1/15+・・・=π/2√2  (ニュートン)

に引き続き,オイラーは

[4]Σ1/n^2=π^2/6

[5]Σ1/n^2=Π(1−p^-2)^-1

[6]Σ1/n^2=−2π^2Πn

[7]Σ1/n^2=∫(0,1)logxdx/(x−1)

[8]Σ1/n^3=2π^2/7・log2+16/7・∫(0,1)xlog(sinx)dx

[9]∫(0,1)(x−1)dx/logx=log2

をたったひとりで発見した.

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