ビールの泡は粒子が細かいので，球形だと思っている人が圧倒的かと思う．しかし，ザクロの実とかシャボンの泡くらいの大きさになると，隅の角が丸みを帯びてはいるものの，ほぼ多面体ということが諒解されるだろう．

　それでは何面体なのかと問われると，即答できるひとはほとんどいないのであるが，実は，多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られている．

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【３】ウィリアムズの１４面体

　α-１４面体は，長い間，単一の多面体で空間を隙間なく分割しうる唯一のものと信じられてきました．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することです．しかし，その条件を外せば，空間充填１４面体にはもう１種類あることを，１９６８年になってウィリアムズが報告しています．これがβ-１４面体ですが，この間，実に１世紀近い年月の隔たりがあります．

　β-１４面体は，８個の合同な五角形と４個の合同な六角形と２個の合同な四角形をもち，それらの面は必ずしも平面である必要はありません．正方形の面は平面にできるのですが，その他の面はいずれも曲面（凸面，凹面，Ｓ字状の湾曲した曲面など）になります．

　α-１４面体に比較しても，辺が曲線になったり，面が曲面を含む点で幾何学的性質の単純さは劣りますが，五角形の面をもつという利点があります．すでに説明したように，分割多面体では５角形の面が最も多いのですが，α-１４面体はまったく５角形の面をもちませんから，β-１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができます．

　β-１４面体のほうが形の上で実際に近いとはいっても，それだけでモデルの優劣を判断するわけにはまいりません．しかし，平面に投射した形を考えてみると，β-１４面体による空間充填は，スケールを大きくとることによって，５角形による平面充填配列に近づいていきます．この５角形とは正五角形ではなく，カイロのタイル貼りと呼ばれる歪んだ５角形によるタイル貼りのことであって，正方形と正三角形によるアルキメデスの平面充填形の双対として得られるものです．

　一方，α-１４面体を平面のタイル張りに還元するには，かなり著しい変形を加えなければなりません．このことは，血管の分岐様式が二分岐になるためのモデルとして，多面体が奇数の辺をもつβ-１４面体のほうが都合がよいことを意味していて，諏訪氏はβ-１４面体の存在理由を非常に重要なものと考えています．

　便宜のため，α-１４面体とβ-１４面体の主要な幾何学的性質をまとめて表示しておきます．

　　　　　　　　　α-１４面体　　　　　　　　　β-１４面体

面の形と数　　　平面６辺形（８）　　　　　　　曲面５辺形（８）

　　　　　　　　平面平行４辺形（４）　　　　　曲面６辺形（４）

　　　　　　　　平面正方形または矩形（２）　　平面正方形または矩形（２）

稜の形と数　　　直線（３６）　　　　　　　　　曲線（２４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直線（１２）

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