［１］幾何光学的理論

　主虹では外側から内側に赤・橙・黄・緑・青・藍・紫の順に見え，その外側に，色の配列が主虹と逆順の副虹がうすく見える．主虹は水滴の中で１回反射した虹，副虹は２回反射の虹である．主虹と副虹の間が，アレクサンダー暗帯である．デカルト・ニュートンの虹の古典論によると，ここに反射してくる光はまったくない．

　このことを幾何光学的に調べることにしよう．水滴の半径を１，屈折率をｎ，入射光線と水滴の中心との距離をａ，反射光線と入射光線の間の角度（虹角）をθとすると，平面幾何学的に，１回反射の虹では

　　θ＝４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

２回反射の虹では

　　θ＝−４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π

となることが示される．

　一般に，奇数回反射した場合は

　　θ＝２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

偶数回反射した場合は

　　θ＝−２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π となる．

　散乱角θをａで微分すると

　　ａ＝√（４−ｎ^2）／３　　　（主虹）

　　ａ＝√（９−ｎ^2）／８　　　（副虹）

でθは最大になる．

　ｎ＝４／３とおくと，主虹はａ＝０．８６で最大値４２°，副虹はａ＝０．９５で最大値５１°をとるが，どちらからの散乱光もまったくやってこない領域が主虹と副虹の間で，この領域がアレクサンダー暗帯である．

　また，もっと丁寧に考察するならば，

　　ｄθ／ｄａ＝２（−３ａ^2−ｎ^2＋４）／√（ｎ^2−ａ^2）√（１−ａ^2２（√（ｎ^2−ａ^2）＋√（１−ａ^2））

より，ｎ＞２の場合にはｄθ／ｄａ＜０より包絡線が存在しないので，主虹は存在しないことも理解される．

　水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．

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