■和算の問題(その47)

 (その45)では

  cosα=(b^2+c^2−d^2)/2bc

  cosβ=(c^2+a^2−d^2)/2ca

  cosγ=(a^2+b^2−d^2)/2ab

からcosα,cosβ,cosγを消去するために

  cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1+2cosαcosβcosγ

を思いつかなければならない・・・

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 任意の三角形に対して

  tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

が成り立つ.

 この式は

  γ=π−(α+β)

として,tanの加法公式を用いることにより容易に証明される.役に立つかどうかは別として,私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる.もちろん,美しく感じるかどうかは主観的であり,強制すべきものではないが,きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない(希望).

 同様に,任意の三角形に対して

  sinα+sinβ+sinγ=4cosα/2cosβ/2cosγ/2

  sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ

  sin3α+sin3β+sin3γ=−4cos3α/2cos3β/2cos3γ/2

  cosα+cosβ+cosγ=1+4sinα/2sinβ/2sinγ/2

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