■和算の問題(その39)

[Q1]円に内接する三角形(辺の長さa,b,c)がある.このとき,円の直径を求めよ.

 正弦定理より,

  2R=a/sinα=b/sinβ=c/sinγ

余弦定理より,

  cosα=(b^2+c^2−a^2)/2bc

であるから

  sinα={1−(b^2+c^2−a^2)^2/4b^2c^2}^1/2

={2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)}^1/2/2bc

を代入して整理すると,a,b,cについて対称な形の式が得られる.

  2R=2abc/{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)}^1/2

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[Q2]円に内接する四角形(辺の長さa,b,c,d)がある.このとき,円の直径を求めよ.

 対角線の長さをe,fとすると

  2R=2abe/{2(a^2b^2+b^2e^2+e^2a^2)−(a^4+b^4+e^4)}^1/2・・・[1]

  2R=2cde/{2(c^2d^2+d^2e^2+e^2c^2)−(c^4+d^4+e^4)}^1/2・・・[2]

  2R=2fbc/{2(f^2b^2+b^2c^2+c^2f^2)−(f^4+b^4+c^4)}^1/2・・・[3]

  2R=2fad/{2(f^2a^2+a^2d^2+d^2f^2)−(f^4+a^4+d^4)}^1/2・・・[4]

 この問題ではトレミーの定理

  「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和=対角線の積

     AB・CD+AD・BC=AC・BD」

     ac+bd=ef

を活用できる.

 [1]−[4]からe,fを消去したいのであるが,結構骨が折れそうである.次回の宿題としたい.

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