■和算の問題(その35)

 1辺の長さが1の正n角形に内接(外接)する円がある.このとき,円の半径r(R)は,

  r=1/(2tan(π/n))

  R=1/(2sin(π/n))

で与えられる.

 ここで,tan(π/n),sin(π/n)に対してn倍角の公式を適用すると,rは代数方程式の解として得ることができる.この代数方程式の係数がシュタイナーの円鎖の問題にも現れるという.

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【1】シュタイナーの定理

 小円を大円の内部におき,この2つの円の中間に次々に接する円列を作る.たいていの場合,最後の円は重なってしまい,この円列は互いに接する円環をなさない.しかしときとして完全な円環をなす場合がある.このとき,最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす.

 ここでは,完全な円環をなさない場合も含めて一般の場合を扱う.2つの円の中間に次々に接する円列の半径をr1,r2,r3,・・・と表すことにする.もちろん,完全な円環をなす場合の方が簡単な形となる.

[1]4円環

  (r2+r4)r1r3=(r1+r3)r2r4

[2]5円環

  τ=(1+√5)/2として,

  (r3−r4)r2r5−1/τ・(r2−r5)r1r4=0

[3]6円環

  2(r4−r5)r2r6−(r3−r6)r4r5=0

[4]7円環

  R1=(r3−r7)r4r5,R2=(r4−r5)r3r7

  −R1^3+2R1^2R2+R1R2^2−R2^3=0

[5]8円環

  R1=(r3−r6)r4r5,R2=(r4−r5)r3r5

  R1^2−R1R2−R2^2=0

[6]9円環

  R1=(r5−r6)r4r7,R2=(r4−r7)r5r6

  3R1^3−3R1R2^2+R2^3=0

[7]10円環

  R1=(r4−r7)r5r6,R2=(r5−r6)r4r7

  R1^2−3R1R2+R2^2=0

 これらの方程式の係数については,次回の宿題としたい.

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