■和算の問題(その32)

 1辺の長さがdの正三角形の中に点Pがあり,3頂点との距離はそれぞれa,b,cになっている.このとき,

  3(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

が成り立つ.

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(証)中心での角度をα,β,γとし,余弦定理を用いると

  d^2=b^2+c^2−2bccosα

  d^2=c^2+a^2−2cacosβ

  d^2=a^2+b^2−2abcosγ

 また,α+β+γ=2πより,

  cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1+2cosαcosβcosγ

続きは骨の折れる計算であるが,

  3(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

が得られる.

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