■和算の問題(その13)

 和算には○△□が頻繁に登場する.図形の問題では座標を設定して,どうしても計算したくなるものであるが,

  [Q]中円の半径は?

のようにほとんど計算しなくてもよい問題もあるようだ.

 外接円の半径をR,内接円の半径をrとすると,正三角形ではR=2r,正方形ではR=√2r,正n角形では

  R=rsec(π/n)

また,星形m/n角形では

  R=rsec(mπ/n)

となる.

 したがって,この問題に対する一般的な解答を与えると

[1]外接円:R

[2]内接円:Rcos(π/n)

[3][1][2]に接する円:(R−Rcos(π/n))/2

[1]/[3]比:2/(1−cos(π/n))

[2]/[3]比:2cos(π/n)/(1−cos(π/n))

 n=3のとき,[1]/[3]比=4,[2]/[3]比=2

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 星形m/n角形では

[1]外接円:R

[2]内接円:Rcos(mπ/n)

[3][1][2]に接する円:(R−Rcos(mπ/n))/2

[1]/[3]比:2/(1−cos(mπ/n))

[2]/[3]比:2cos(mπ/n)/(1−cos(mπ/n))

となる.

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