■スターリングの公式(その45)

  exp(π√163)=640320^3+744

しかしながら,ゲルフォント・シュナイダーの定理より,exp(π√163)は超越数であって,整数にはならないことが証明されます.

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  exp(π√163)=262537412640768743.99999999999925007・・・

である.整数との差はわずか1兆分の1未満である.もしこれが整数になったら一大事であるが,見事としかいいようがない.

  exp(π√163)=640320^3+744−ε

  ε=7.5×10^-13

  {log(640320)^3+744)/π}^2=163+2.32×10^-33

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エイトケンは数を友とした数少ないひとりで、exp(π√163)が整数と10^-12以下しか違わないことを発見している。

1859年、エルミートもこの事実を知っていたとのことである。

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