■スターリングの公式(その44)

超越数の例としては,

  e,π,exp(√2),log2,2^√2,exp(π),log102

などが知られている.それでは、logπは無理数でしょうか? さらには超越数でしょうか?

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[1]αが代数的数,βが超越数ならば

  α+β,αβは超越数

[2]ゲルフォント・シュナイダーの定理

  αが代数的数,b>0が有理数,β=i√bとする.

  α^βは超越数

 例)オイラーの等式:e^iπ+1=0より

  e^π=(e^iπ)^-i=(−1)^-i → 超越数

[3]ゲルフォント・シュナイダーの定理

  αとβが代数的数,βが有理数でないとする.

  α^βは超越数

 例)2^√2 → 超越数

[4]リンデマン・ワイエルシュトラスの定理

 1873年にエルミートが,eは超越数であることを証明した.正確には

  αkは相異なる相異なる整数なら{e^α1,e^α2,・・・,e^αn}は線形独立,すなわち,Σβke^αk=β1e^α1+β2e^α2+・・・+βne^αn=0ならば,β1=β2=・・・=βn=0

を証明した.

 1882年,リンデマンがこの結果を,

  αkは相異なる代数的数,Σβke^αk=β1e^α1+β2e^α2+・・・+βne^αn=0ならば,β1=β2=・・・=βn=0

すなわち,αkは相異なる相異なる代数的数なら{e^α1,e^α2,・・・,e^αn}は線形独立

に改良した.

 リンデマンの定理には,広い帰結が知られていて,この定理を認めれば

[1]√πは作図可能な数ではない.したがって,

[2]コンパスと定規で円積問題は不可能である.

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