■スターリングの公式(その33)

e^π>π^eは

  g(x)=logx/x、g’(x)=(1−logx)/x^2

より,

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

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[Q](0.99)^99,1/(1.01)^101,どちらが大きいか?

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[A] (99/100)^99?(101/100)^-101を比較する.

 両辺の対数をとると

  99(log99−log100)?−101(log101−log100)

  (99log99+101log101)/2?100log100

 ここで,関数

  f(x)=xlogx

を考えると,

  f’(x)=logx+1

  f”(x)=1/x>0→下に凸.

 したがって,

  (99log99+101log101)/2>100log100

  (0.99)^0.99>1/(1.01)^1.01

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