【２】最も有名な超越数

　リンデマンは，エルミートの方法を一般化して，πの超越性を証明するのですが，リンデマンの定理（１８８２年）より，

　　ｅ，π，ｅ^（√２），ｅ＾α，ｌｏｇ２，ｌｏｇβ

　　　（α，βは代数的数で，α≠１，β≠１）

の超越性が導かれます．

　１９００年，ヒルベルトはパリの国際数学者会議において，２^（√２）が超越数であるかどうかを当時の数学の問題のひとつとしました（ヒルベルトの第７問題）．この問題は，「０または１でない代数的数αと有理数でない代数的数βに対し，α^βが超越数であることを示せ」というものですが，１９３４年，ゲルフォントとシュナイダーによって独立に，肯定的に解決されました．

　その結果，

　　２^（√２），ｅ^π，α^β，ｌｏｇ10２，ｌｏｇbａ

がいずれも超越数であることが判明しました．

　なお，

　　ｅ^π＝(-1)^(ｰi)

は，ゲルフォント・シュナイダーの定理によって超越数なのですが，

　　π^ｅ，π^π，ｅ^ｅ

は有理数かどうかもわかっていませんし，π＋ｅは無理数かどうかも知られていません．

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［補］　　√（πｅ／２）＝１＋１／１・３＋１／１・３・５＋１／１・３・５・７＋１／１・３・５・９＋・・・

また，標準連分数展開（分子が１）でなく，分母が１になるような連分数展開をすると

　　√（πｅ／２）＝［１：１，２，３，４，・・・］

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