■3次方程式の解の公式(その6)

 3次方程式x^3+ax+b=0の解

  x=(−b/2+√(b^2/4+a^3/27))^1/3+(−b/2−√(b^2/4+a^3/27))^1/3

を書きだすのが「カルダノの公式」である.

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【1】x=(√(28/27)+1)^1/3−(√(28/27)−1)^1/3は整数である

 x^3を計算するとx^3=2−xが成り立つことより,x=1はひとつの実数解となる.(x−1)(x^2+x+2)=0において,x^2+x+2=0は2つの虚数解をもつので,x=1でなければならない.

 カルダノの公式においてa=1,b=−2の場合に相当している.

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【2】x=(√(65/64)+1)^1/3−(√(65/64)−1)^1/3は整数でない

 x^3を計算すると4x^3=8−3xが成り立つことより,x(4x^2+3)=8.8≧4x^2+3≧3より,0<x<3/8.ここでxが整数なら,x=1または2となるが,いずれも4x^3+3x−8=0を満たさない.

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