■3次方程式の解の公式(その4)

 3次方程式x^3+ax+b=0の解

  x=(−b/2+√(b^2/4+a^3/27))^1/3+(−b/2−√(b^2/4+a^3/27)√(28/27)−1)^1/3

を書きだすのが「カルダノの公式」である.

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【1】x=(√(28/27)+1)^1/3−(√(28/27)−1)^1/3は整数である

 x^3を計算するとx^3=2−xが成り立つことより,x=1はひとつの実数解となる.(x−1)(x^2+x+2)=0において,x^2+x+2=0は2つの虚数解をもつので,x=1でなければならない.

 カルダノの公式においてa=1,b=−2の場合に相当している.

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【2】x=(2+√(−121))^1/3+(2−√(−121)^1/3は整数である

 x^3−15x−4=0に,a=−15,b=−4としてカルダノの公式をあてはめてみた結果である.

  2+√(−121)=(2+√(−1))^3

  2−√(−121)=(2−√(−1))^3

  (2+√(−121))^1/3+(2−√(−121)^1/3=4

と書き換えることができる.

  x^3−15x−4=(x−4)(x^2+4x+1)=0

において,x^2+4x+1=0は2つの虚数解をもつので,x=4でなければならない.

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