ｌｎ（ｎ！）〜ｎｌｎｎ−ｎ

と近似できるから

　　ｎ！〜ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

と書くことができる．

　　ｎ！〜（ｎ/ｅ）^n

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n≦ｎ！≦ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　１７３０年，スターリングはｎ！の近似公式

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

を示した．

　　ｌｎ（ｎ！）〜ｎｌｎｎ−ｎ＋１／２・ｌｎ（２πｎ）

スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

は面白い公式で，たとえば，

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかるだろう．

　あるいは

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

より，ｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／２に近いといったほうがいいかもしれない．

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［１］ｎ＝７０のとき，右辺は２３０．４３８

一方，ｌｎ（１０^100）＝１００ｌｎ（１０）＝２３０．２５９

７０！＞１０^100

［２］ｎ＝２５２０６のとき，右辺は２３０２５８．７

一方，ｌｎ（１０^1000000）＝１００００００ｌｎ（１０）＝２３０２５９

　しかし，実際は

　　２５２０６！＞１０^1000000

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