■e^e (その3)

 a=2またはa=3として,テイラー展開

  exp(x)=exp(a){1+(x−a)+(x−a)^2/2+(x−a)^3/6+・・・}

の誤差項Rを1/2未満に抑えることを考える.

  R<exp(a)/n!<1/2

  n!>2exp(a)

より,6次近似

  exp(x)=exp(a){1+(x−a)+(x−a)^2/2+(x−a)^3/6+(x−a)^4/24+(x−a)^5/120+(x−a)^6/720}

も調べておきたい.

[1]x=2.7,a=2 → 14.8796

[2]x=2.7,a=3 → 14.8797

[3]x=2.8,a=2 → 16.4443

[4]x=2.8,a=3 → 16.4446

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  exp(2)=7.38906

  exp(3)=20.0855

であるから,a=2を採用することにすると,誤差項Rを1/2未満に抑えたい場合であっても,

  n!>2exp(a)

より4次近似で間に合うようである.

 実際,4次近似では

[1]x=2.7,a=2 → 14.868  (e^e=15.1542)

 これまで大雑把な誤差評価をしてきた.この問題は大学入試問題ということであるから,このような解法でいいのだろうかという疑問は残るが・・・

[Q]e^eに最も近い整数を求めよ

[A]15

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