■y=x^1/x (その3)

 e^π>π^eは

  g(x)=logx/x

において,

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際に,g(x)=logx/xのグラフを描いてみればg(x)は幅のある最大値をもち,2つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである.

  e^π=23.14069・・・≒π+20

  π^e=22.45915・・・

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 以前,

[Q]e^eに最も近い整数を求めよ

[A]e^e=15.1542・・・

について考えてみた際,a=2またはa=3として,テイラー展開

  exp(x)=exp(a){1+(x−a)+(x−a)^2/2+(x−a)^3/6+・・・}

の誤差項Rを1未満に抑えることを考える.

  R<exp(a)/n!<1

  n!>exp(a)

より,4次近似

  exp(x)=exp(a){1+(x−a)+(x−a)^2/2+(x−a)^3/6+(x−a)^4/24}

を採用した.

[1]x=2.7,a=2 → 14.868

[2]x=2.7,a=3 → 14.8801

[3]x=2.8,a=2 → 16.4214

[4]x=2.8,a=3 → 16.4447

 よって,

[Q]e^eに最も近い整数を求めよ

[A]15

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  e^π=23.14069・・・≒π+20

  π^e=22.45915・・・

となるが,同じ方法で,

  0<(e^π−π^e)<1

を示すことができるだろうか?

 e^πはいいとして,π^eを得るためには,

  c’(x)=c(x)logc

  c”(x)=c(x)(logc)^2

より,

  c(x)=c(a){1+logc(x−a)+(logc)^2(x−a)^2/2+(logc)^3(x−a)^3/6+(logc)^4(x−a)^4/24}

 e^πについて,c=2.7

  x=3.1,a=3→ 24.0084

 π^eについて,c=3.1

  x=2.7,a=3→ 15.1109

となって,π^eの近似計算はまったく不調である.何かいい方法はないのだろうか?

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