■スターリングの公式(その7)

【1】n次元切頂八面体の外接球と内接球?

 正軸体の切頂では,S=n(n−1)/2として

 → x=(n−1)/S,y=(n−2)/S,z=(n−3)/s,・・・,w=0

となる.したがって,外接球の半径Rは

  R^2=x^2+・・・+w^2=(n−1)n(2n−1)/6S^2

    =2(2n−1)/3n(n−1)

 一方,内接球というわけではないが,

  x=(n−1)/S=2/n

として,(x,0,・・・,0)で接する球の半径rはr=2/nで与えられる.

 それぞれの体積は

  π^(n/2)/Γ(n/2+1)・R^n,π^(n/2)/Γ(n/2+1)・r^n

であるから,n=2kのとき,

  π^k/k!・{(4k−1)/3k(2k−1)}^k

  π^k/k!・{1/k}^2k

 これとn次元切頂八面体の体積

  1/2・(2/n)^n・2^n=1/2・{1/k}^2k・2^2k

を比較すると,kが大きくなるにつれて

  n次元切頂八面体の体積>内接球?の体積

となることは明らかである.

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