■誤差±1(その10)

  tn+√2un=(1+√2)^n

  xn+√2yn=(1+√2)^2n=(3+2√2)^n

  rn+√2sn=(1+√2)^2n-1=(1+√2)(3+2√2)^n-1

で与えられます.

===================================

  xn+1+√2yn+1=(3+2√2)(xn+√2yn)

          =(3xn+4yn)+√2(2xn+3yn)

より

  xn+1=3xn+4yn

  yn+1=2xn+3yn

  cn =[xn,yn]’   A=[a,b]=[3,4]

                 [c,d] [2,3]

とおくと,cn+1=Acn,cn+2=Acn+1=A^2cn

 ここで,ケーリー・ハミルトン方程式

  A^2=(trA)A−(detA)I

より

  cn+2 =A^2cn=(trA)Acn−(detA)Icn

     =(trA)cn+1−(detA)cn

     =(a+d)cn+1−(ad−bc)cn

     =6cn+1−cn

  cn+2 =6cn+1−cn

  α=3+2√2,β=3−2√2

  xn =1/2(α^n+β^n)

  yn =1/2√2(α^n−β^n)

===================================

  rn+1+√2sn+1=(3+2√2)(rn+√2sn)

          =(3rn+4sn)+√2(2rn+3sn)

より

  rn+1=3rn+4sn

  sn+1=2rn+3sn

  cn+2 =6cn+1−cn

  α=3+2√2,β=3−2√2

  xn =1/2(α^n+β^n)

  yn =1/2√2(α^n−β^n)

であったが,これとは初期値が異なる.

  (r0,s0)=(−1,1)

  (r1,s1)=(1,1)

===================================