■誤差±1(その9)

  1^2+1^2=1^2+1

  2^2+2^2=3^2−1

  5^2+5^2=7^2+1

  12^2+12^2=17^2−1

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 Q(√2)ではε=1+√2が基本単数ですが,その他の解は

  (1+√2)^n=an+bn√2

により与えられます.

  (1+√2)(1−√2)=−1

  (1+√2)^2(1−√2)^2=1

  (1+√2)^3(1−√2)^3=−1

  (1+√2)^4(1−√2)^4=1

より,x^2−2y^2=±1の解を(tn,un),

   x^2−2y^2=1の解を(xn,yn),

   x^2−2y^2=−1の解を(rn,sn)

とおくと

  tn+√2un=(1+√2)^n

  xn+√2yn=(1+√2)^2n(3+2√2)^n

  rn+√2sn=(1+√2)^2n-1=(1+√2)(3+2√2)^n-1

で与えられます.

  tn+1+√2un+1=(1+√2)(tn+√2un)

          =(tn+2un)+√2(tn+un)

より

  tn+1=tn+2un

  un+1=tn+un

  cn =[tn,un]’   A=[a,b]=[1,2]

                 [c,d] [1,1]

とおくと,cn+1=Acn,cn+2=Acn+1=A^2cn

 ここで,ケーリー・ハミルトン方程式

  A^2=(trA)A−(detA)I

より

  cn+2 =A^2cn=(trA)Acn−(detA)Icn

     =(trA)cn+1−(detA)cn

     =(a+d)cn+1−(ad−bc)cn

     =2cn+1+cn

 ところで,ペル数列(an=2an-1+an-2)

  1,2,5,12,29,70,169,408,・・・

の特性方程式

  x^2−2x−1=0

の2根を

  γ=1+√2,δ=1−√2

とおくと,ペル数列の一般項は,

  Pn =1/2√2(γ^n−δ^n)

 また,連続する2項の比は

  1+√2

に次第に近づくことになります.

  tn =1/2(γ^n+δ^n)

  un =1/2√2(γ^n−δ^n)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  xn+1+√2yn+1=(3+2√2)(xn+√2yn)

          =(3xn+4yn)+√2(2xn+3yn)

  cn+2 =6cn+1−cn

  α=3+2√2,β=3−2√2

  xn =1/2(α^n+β^n)

  yn =1/2√2(α^n−β^n)

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[まとめ]

  2n+1=p

  n=1/4(α^n+β^n)−1

となった.

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