ここまでやったからには【2】の証明も与えておきましょう.
[1]d=2,3(mod4),D=4d
P(x)=x^2-d
(1)p=2,d=2(mod4)→P(x)=x^2,
2=p^2,Np=2,p=(2,ω)
p=2,d=3(mod4)→P(x)=x^2+1=(x+1)^2,
2=p^2,Np=2,p=(2,1+ω)
p≠2,p|d→P(x)=x^2-d=x^2,
p=p^2,Np=p,p=(p,ω)
(2)(d/p)=1→P(x)=x^2-d=(x-a)(x+a),
p=pp',Np=p,p=(p,ω-a),p'=(p,ω+a)
(3)(d/p)=-1→P(x)=x^2-dは既約,p=p,Np=p^2
[2]d=1(mod4),D=d
P(x)=x^2-x-(d-1)/4
(1)p|d→p≠で2h=1(modp)なるhを決めておくと,
P(x)=(x-h)^2-mh^2=(x-h)^2,
p=p^2,Np=p,p=(p,ω-h)
(2)(d/p)=+1→P(x)=(x-h)^2-(ah)^2=(x-h-ah)(x-h+ah),
p=pp',N(p)=p,p=(p,x-h-ah),p'=(p,x-h+ah)
(3)(d/p)=-1→P(x)は既約,p=p,Np=p^2
(4)p=2,d=1(mod8)→P(x)=x^2-x-(d-1)/4=x^2-x=x(x-1),
2=pp',N(p)=p,p=(p,ω),p'=(p,ω-1)
(5)p=2,d=5(mod8)→P(x)=x^2-x+1は既約,
2=p,N(p)=2^2
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