ここまでやったからには【２】の証明も与えておきましょう．

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ

　(1)ｐ＝２，ｄ＝２（ｍｏｄ４）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2，

　　　　２＝p^2，Ｎp＝２，p＝（２，ω）

　　 ｐ＝２，ｄ＝３（ｍｏｄ４）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2，

　　　　２＝p^2，Ｎp＝２，p＝（２，１＋ω）

　　 ｐ≠２，ｐ｜ｄ→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ＝ｘ^2，

　　　　ｐ＝p^2，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω）

　(2)（ｄ／ｐ）＝１→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ＝（ｘ−ａ）（ｘ＋ａ），

　　　　ｐ＝pp'，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω−ａ），p'＝（ｐ，ω＋ａ）

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄは既約，ｐ＝p，Ｎp＝ｐ^2

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ−（ｄ−１）／４

　(1)ｐ｜ｄ→ｐ≠で２ｈ＝１（ｍｏｄｐ）なるｈを決めておくと，

　　　　Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｈ）^2−ｍｈ^2＝（ｘ−ｈ）^2，

　　　　ｐ＝p^2，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω−ｈ）

　(2)（ｄ／ｐ）＝＋１→Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｈ）^2−（ａｈ）^2＝（ｘ−ｈ−ａｈ）（ｘ−ｈ＋ａｈ），

　　　　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ，p＝（ｐ，ｘ−ｈ−ａｈ），p'＝（ｐ，ｘ−ｈ＋ａｈ）

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１→Ｐ（ｘ）は既約，ｐ＝p，Ｎp＝ｐ^2

　(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ−（ｄ−１）／４＝ｘ^2−ｘ＝ｘ（ｘ−１），

　　　　２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ，p＝（ｐ，ω），p'＝（ｐ，ω−１）

　(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１は既約，

　　　　２＝p，Ｎ（p）＝２^2

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