【５】２次体のイデアル類群の構造

　ここでは，本質的にはミンコフスキー定数

　　Ｍ＝1/2√Ｄ　　　（実２次体）

　　Ｍ＝2/π√-Ｄ　　（虚２次体）

だけを用いて，類数のみならず，２次体のイデアル類群Ｈの構造を決定する方法を紹介します．

　２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，

　　χ（ｐ）＝０　　　（分岐）

　　　　　　＝＋１　　（完全分解）

　　　　　　＝−１　　（ｐは２次体でも素）

と定義されます．

　具体的には，

　　ｐ｜Ｄ　→　χ（ｐ）＝０

　　ｐ≠２　→　χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

のように計算されるのですが，

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2}　 (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

　すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　クロネッカーの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．

　それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則で，（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

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