【２】整数環とイデアル

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちますが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　２，３は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

　この状況に対して，これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます．すなわち，２，３，１±√−５は素数でなく，さらに究極の数α，β，γ，δがあって，

　　２＝αβ，３＝γδ，１＋√−５＝αγ，１−√−５＝βδ となっていて，

　　６＝αβγδ

が６の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます．もちろん，α，β，γ，δはＺ（√−５）の中には存在しません．素因数分解したときの素因数がすべて含まれている集合を考えるのです．

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　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．

　そこで，有理数体Ｑの場合に考えたことを２次体Ｑ（√ｄ）に場合に拡張することを考えます．とくに，Ｑにおける素数の概念を拡張して，一般の代数体Ｋに素イデアルを導入します．

　「任意の自然数は素数の積に書ける．しかも順序を除けばその書き方は１通りである（初等整数論の基本定理）」の拡張が，いわゆるデデキントのイデアル論であり，「Ｑの素数ｐを１つ固定すると，素数ｐは代数体の整数環における素イデアルの積に分解される（イデアル論の基本定理）」ことになります．

　素イデアルをp1,･･･,pkとして，素数ｐが

　　ｐ＝p1^e1･･･pk^ek

と分解されるとき，eiを素イデアルpiの分岐指数といい，ei>1のときpiは分岐するといい，ei=1のときpiは不分岐，また，ｐに対してはあるpiが分岐するとき

ｐは分岐する，どのpiも不分岐のときｐは不分岐といいます．

　また，一般のｎ分体では，piの次数をfiとすると

　　ｎ＝e1f1+e2f2+･･･+enfn

という関係があり，したがって，２次体の場合，素数ｐは

　　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ　　（分岐）

　　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ　　（完全分解）

　　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2　　（ｐは２次体でも素）

のように分解することになります．

　２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となることは前述したとおりですが，素数ｐがいつ分岐しまた完全分解するかを調べると，有理素数は次のように分解します．

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

　(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８）　→　２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８）　→　２＝p，Ｎ（p）＝２^2

　ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，

　　（ｄ／ｐ）＝＋１

はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2＝ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，

　　（ｄ／ｐ）＝−１

と表されます．

　この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は

　　ｐ｜Ｄ

であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．

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