【８】補遺

　オイラーの素数生成公式：ｎ^2＋ｎ＋４１において，

　　（−ｎ）^2＋（−ｎ）＋４１＝（ｎ−１）^2＋（ｎ−１）＋４１

より，ｎ^2＋ｎ＋４１は−４０≦ｎ≦−１に対しても素数値をとることがわかります．したがって，ｎ^2＋ｎ＋４１のｎをｎ−１に変換すればｎ^2−ｎ＋４１，ｎ−４０に変換すればｎ^2−７９ｎ＋１６０１が与えられますが，前者は−３９≦ｎ≦４０，後者は０≦ｎ≦７９なるすべてのｎに対して素数値をとります．

　また，１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋１７や２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．ｎ^2＋ｎ＋１７については既に述べましたが，

　　２ｘ^2＋２９

は，ｘ＝０，１，・・・，２８において，連続する素数値をとる最適生成多項式の１つであって，類数２をもつ体Ｑ（√−５８）に対応しています．

　一般に，Ｑ（√ｄ）＝Ｑ（√−２ｐ）が類数２をもつためには，

　　２ｘ^2＋ｐ

が０≦ｘ≦ｐ−１において素数値をとることが必要十分であって，そのようなｄ＝−２ｐは

　　ｄ＝−６，−１０，−２２，−５８

で与えられます．類数２の虚２次体と関係した最適素数生成多項式は，このほかに２つのタイプがあることが知られています．

　同様のことを１次式：ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｐに対して考えてみると，この等差数列の集合は無限に多くの素数を含む（ディリクレの算術級数定理）のですが，

　　ｆ（０）＝ｐ，ｆ（ｐ）＝（ａ＋１）ｐ

ですから，０，１，・・・，ｐ−１のとき，素数値をとるのが最良です．

　ｐ個の素数を連続してもつ等差数列としては，たとえば，

　ｆ（ｘ）＝ｘ＋２は連続した２個の素数値２，３をとる．

　　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３は連続した３個の素数値３，５，７をとる．

　　ｆ（ｘ）＝６ｘ＋５は連続した５個の素数値５，１１，１７，２３，２９をとる．

　　ｆ（ｘ）＝１５０ｘ＋７は連続した７個の素数値７，１５７，３０７，４５７，６０７，７５７，９０７をとる．

　　ｆ（ｘ）＝１５３６１６００８０ｘ＋１１は連続した１１個の素数値をとる．

　　ｆ（ｘ）＝９９１８８２１１９４５９０ｘ＋１３は連続した１３個の素数値をとる．

　　ｆ（ｘ）＝３４１９７６２０４７８９９９２３３２５６０ｘ＋１７は連続した１７個の素数値をとる．

・・・しかし，すべての素数ｐに対して，このような等差数列が存在するかどうかは知られていません．

　それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，正の値がすべて素数の集合となる多項式が存在するという驚くべき事実を，ヒルベルトの第１０問題の副産物として発見しています．

　その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．この多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．（現在のこのような式の最低次数は５，最底変数は１０になっています．）

　なお，整数係数をもつ多項式が，常に素数値をとることは不可能であることは証明されています．一方，すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝