【７】虚２次体の類数

　類数１をもつ実２次体は無限に多く存在すると予想されていますが，それに対して，ガウスは類数ｈの虚２次体Ｑ（√ｄ）は有限個しかないと予想しました．

　また，ガウスは類数の理論を発展させ，ｄ＜０とし，ｔをＤの相異なる素因数の個数とするとき，２^(t-1)はＱ（√ｄ）の類数を割り切ることを証明しました．これは類数の整除性に関して得られた最初の結果です．したがって，ｈ＝１ならば

　　Ｄ＝−４，−８または−ｐ　　（ｐ＝３　ｍｏｄ４）

となって，ｄ＝−１，−２または−ｐが求まります．

　以下，定符号形式（Ｄ＜０）に関する類数問題の解について説明します．とはいっても，類数の具体的な計算（ディリクレの類数公式）については割愛しますが，１９６６年に，ベイカーとシュタルクが独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）をすべて決定し，ガウスの予想は肯定的に解決されました．

　　｜Ｄ｜＝３，４，７，８，１１，１９，４３，６７，１６３

　すべてのｈ≧１に対して，類数ｈをもつ虚２次体Ｑ（√ｄ）は有限個しか存在しないことがわかったのですが，その後，次の課題である類数２をもつ虚２次体が探索されました．そして，１９７１年，ベイカーとスタークはそれぞれ独立にｈ（Ｄ）＝２となるのは，

　　｜Ｄ｜＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，

　　　　　９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の場合に限ることを証明しました．

　同様に，類数３をもつすべての２次体を決定することができるのですが，このような２次体は全部で１６個あり，

　　｜Ｄ｜＜＝９０７

また，類数４をもつ２次体は５４個あり，

　　｜Ｄ｜＜＝１５５５

となることが示されています．こうして，与えられた類数をもつ２次体の個数が次々と計算されてきたのです．

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