■素数もろもろ(その10)

【5】単数

[3]虚2次体

 

 d<0のとき,

  d=−1 → 4個の単数

  d=−3 → 6個の単数

でしたが,

  d≠−1,−3 → 2個の単数{±1}

となります.

 

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 Q(√d)の場合,

(1)d>0ならば{±1}

(2)d<0のとき

 a)d=−1ならば{±1,±i}

 b)d=−3ならば{±1,±ρ,±ρ^2}

 c)d≠−1,−3ならば{±1}

 

(証明)

(1)d>0ならばα^n=1なるαは±1しかない.

(2)d<0のとき

  α^2−(α+α~)α+αα~=0

という関係を満足し,|α|=1だから,x^2+bx+1=0(bは整数)の根

  α=(−b+√(b^2−4))/2

になる.

 

 b^2=4はα=±1を与えるからb^2≠4とする.また,b^2−4=c^2と平方数になる場合は(b+c)(b−c)=4より,

  b+c=4,b−c=1

これは明らかに不可能.したがって,d<0よりb^2−4<0でなければならない.

 

 よって,b=0またはb=1またはb=−1の可能性がある.

  b=0→{±i}

  b=1→{±ρ}

  b=−1→{±ρ^2}

 

 なお,円分体

  Q(ζ),ζ=exp(2πi/d)

の単数は

  {±1,±ζ,±ζ^2,・・・,±ζ^(d-1)}

の2d個の元からなります.

 

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