■素数もろもろ(その7)

【1】ラビノヴィッチの定理

 

 fq(x)が0≦x≦q−2なるすべてのxについて素数となることと虚2次体Q(√d)との関係が,ラビノヴィッチにより示されています(1912年).

 

[1]d=2,3(mod4)のとき

  q=−d        

  fq(x)=x^2+q

 

[2]d=1(mod4)のとき

  q=(1−d)/4

  fq(x)=x^2+x+q

とおきます.

 

 [2]がオイラーの公式に対応しているわけですが,連続する0≦x≦q−2に対してすべて素数になるには

  「qが素数で,虚2次体Q(√1−4q)が類数1をもつときに限る.」

というのが,ラビノヴィッチの定理です.

 

 類数1については後述しますが,[2]でd=−163=1(mod4)の場合を考えると,q=41.したがって,

  fq(x)=x^2+x+41

となります.このようにして,上の現象は虚2次体Q(√−163)と関係していることがわかります.

 

 同様に,1変数の2次多項式

  n^2+n+17

も高い確率で素数を生成しますが,d=−67=1(mod4)の場合を考えると,q=17ですから,虚2次体Q(√−67)と関係しているというわけです.

 

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