オイラーは素数をかなりの確率で生成する公式（２次多項式）

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

を発見しています．この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，

　１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，

　３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，

　７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，

　１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

　オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　また，オイラーは，２次多項式

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，ｑが素数

　　２，３，５，１１，１７，４１

のとき，

　　ｆq（０），ｆq（１），・・・，ｆq（ｑ−２）

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ−１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　しかし，素数

　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７

に対して，このことは成立しません．

　　ｆ7（１）＝９，ｆ13（１）＝１５，ｆ19（１）＝２１，ｆ23（１）＝２５，

　　ｆ29（２）＝３４，ｆ31（１）＝３３，ｆ37（１）＝３９

　これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

は，（その５）で述べた虚２次体の理論と深く関係しているのですが，今回のコラムではもう少し掘り下げて再録してみたいと思います．

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