【２】フェルマー素数

　　Ｆn＝２2^n＋１ の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです．現在，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．

　オイラーの方法を振り返ってみることにしましょう．ここで，

　　ｐ｜ａ^(2^n)＋１　　（ｐ≠２の素数）

ならば

　　２^(n+1)｜ｐ−１

となることを証明なしに与えておきます（→証明せよ）．

　このことを認めると

　　ｐ｜Ｆ5ならば２^6｜ｐ−１

すなわち，ｐ＝１＋ｋ・２^6の形でなければならないことがわかります．ｋに１〜１０まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^6　　　素数

　　　　１　　　　　６５　　　　　×

　　　　２　　　　　１２９　　　　×

　　　　３　　　　　１９３　　　　○

　　　　４　　　　　２５７　　　　○

　　　　５　　　　　３２１　　　　×

　　　　６　　　　　３８５　　　　×

　　　　７　　　　　４４９　　　　○

　　　　８　　　　　５１３　　　　×

　　　　９　　　　　５７７　　　　○

　　　１０　　　　　６４１　　　　○

　ここで得られた素数１９３，２５７，４４９，５７７，６４１の中から，Ｆ5＝４２９４９６７２９７を割るものを探すと６４１が最初のものであることがわかります．このことから

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

と分解されＦ5が素数でないことが証明されます．

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［補］フェルマー数

　フェルマー数（２2^n＋１）は簡単な漸化式

　　Ｆn＝（Ｆn-1−１）^2＋１

を満たしています．この式から

　　Ｆn−２＝Ｆn-1（Ｆn-1−１）＝・・・＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn−２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　したがって，（Ｆn，Ｆi）＝１がすべてのｉ（０≦ｉ≦ｎ−１）にについて成り立ちます．このことは任意にｉ≠ｊをとったとき，（Ｆi，Ｆj）＝１と意味するのですが，このことから数列｛Ｆn｝を用いて，素数が無限にあることを示すことができます．

（証明）

　すべてのＦiの素因数を１つずつとりｐiと呼べばｐはすべて異なるから，素数は無限にあることがわかる．

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