［補］Σ（１／ｐ）＝∞

　調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

は容易に示すことができます．それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると

　　Π（１−１／ｐ）^(-1)

と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^(-1)〜∞．

また，

　　ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）

１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）

ですから，

　　Σ（１／ｐ）＝∞

になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．

　１７３７年，オイラーはこのようにして素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数

　　Σ（１／ｎ^2）＝ζ（２）＝π^2／６

で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．

　さらに，このことを詳しく調べると，

　　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

などがわかってきます．ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．

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［補］双子素数予想

　双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．ここで，Ｃはオイラー積のアナログであり，双子素数の場合のゼータ関数とみなすことができます．定まった用語ではないのですが，ハーディ・リトルウッド積と呼んでいいでしょう．この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．

　現在のところ，双子素数予想にもっとも接近した結果は，１９６６年，陳景潤によるもので，陳景潤は素数と概素数（素因数を２つしかもたない合成数）のペアは無限に存在することを証明しました．これは無限に多くの双子素数が存在することに大変接近した結果であって，双子素数予想の証明に向かって最初の大きな一歩と考えられます．もう一歩進んで「概」を取り去ることに成功した者が，素数理論の大快挙を成し遂げたことになるのです．

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［補］Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／２

　ブルンの定数：１．９０１９５・・・やハーディ・リトルウッド積：１．３２０３・・・は簡単な有理数では表されませんでしたが，すべての素数についての和や積がそのような値になるとは限りません．

　むしろ，すべての素数をわたる無限積Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）が有理数５／２で表されることのほうが不合理のように感じられますが，これを証明するのはさほど難しいことではありません．

（証明）

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）

　＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2

　＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

等比級数に展開すると

　＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）^2／Π（１＋１／ｐ^4＋１／ｐ^8＋・・・）

　＝（Σ１／ｎ^2）^2／Σ１／ｎ^4

　ここで，リーマンのゼータ関数

　　Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６

　　Σ１／ｎ^4＝ζ（４）＝π^4／９０

したがって，

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝（π^4／３６）／（π^4／９０）

　＝５／２

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