■ソフィー・ジェルマン素数(その23)

 ここでは(p,2p+1,4p−1,6p−1,8p+1)がいずれも素数となるpを超ソフィー・ジェルマン素数と呼ぶことにする.

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 A(p)=(2p+1,4p−1,6p−1,8p+1)とすると

 A(2)=(5,7,11,17)・・・すべて素数

 A(3)=(7,11,17,25)・・・合成数が含まれる

 A(5)=(11,19,29,41)・・・すべて素数

 A(7)=(15,27,41,57)・・・合成数が含まれる

 p=2,5は超ソフィー・ジェルマン素数であるが,p>5のとき,A(p)には必ず合成数が含まれることを示したい.

[1]p=5k+1のとき

  2p+1=10k+3(?)

  4p−1=20k+3(?)

  6p−1=30k+5(合成数)

  8p+1=40k+9(?)

[2]p=5k+2のとき

  2p+1=10k+5(合成数)

  4p−1=20k+7(?)

  6p−1=30k+11(?)

  8p+1=40k+17(?)

[3]p=5k+3のとき

  2p+1=10k+7(?)

  4p−1=20k+11(?)

  6p−1=30k+17(?)

  8p+1=40k+25(合成数)

[4]p=5k+4のとき

  2p+1=10k+9(?)

  4p−1=20k+15(合成数)

  6p−1=30k+23(?)

  8p+1=40k+33(?)

 したがって,この条件を満たすのはp=2,5のみである.

[参]河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

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