一般的な４次方程式のガロア群は、解の4！＝24通りの置換からなっている。この群にはどんどん小さくなっていく一連の正規部分群があって、その大きさは

24，12，4，2，1

である。

24/12＝2（素数）

12/4＝2（素数）

４/２＝２（素数）

２/１=２（素数）

となる。

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五次方程式には５つの解があって、置換は５！=１２０通り

その一連の正規部分群は

120，60，1

である。

120/60（素数）であるが

60/1＝60（非素数）

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５次方程式を根によって解くことはできないことを示すのはあまりに簡単で、ガロアは

５次方程式が解けないことの証明を実際に書き下してはいない。わざわざ言及するまでもなかったのである。

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