４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４です．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１

となります．

　Ｓ4の場合，正方形ではなく正四面体を幾何学的にイメージすることになるのですが，互換は正四面体の回転として捉えることはできず，鏡映変換を必要とします．

　Ｓ3同様，Ｓ4は回転と互換の両方を含んでいるのですが，互換を含めて空間的な回転だけでＳ4を表現するには，立方体の４本の対角線あるいは正八面体の向かい合う面の中心を結ぶ４本の線分を使うことになります．

　Ｓ4は立方体あるいは正八面体の回転対称性であり，Ｓ4の偶置換からなる部分群Ａ4は正四面体の回転対称性を表すのですが，４次交代群Ａ4のの基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

となります．しかし，Ｓ4の位数は４！＝２４，群表は２４×２４，Ａ4の位数は４！／２＝１２，群表は１２×１２になるので，大きすぎてここでは紹介できません．

　Ｓ4もＡ4も非可換なのですが，Ａ4のなかに可換な部分群Ｖ（位数４）が含まれています．Ｖは可換群ではあるが巡回群Ｃ4ではありません．実はＤ2＝Ｃ2×Ｃ2なのですが，これについては後述することにします．ともあれ，可解鎖

　　Ｓ4＞Ａ4＞｛Ｉd，Ｖ｝＞｛Ｉd｝

よりＳ4は可解群であることがわかります．このように可換な不変部分群を見つけることで，４次方程式を３次方程式に還元することが可能になるのです．

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