■五次方程式の非可解性(その15)

 疑問「3次方程式には根は3つしか存在しないにもかかわらず,位数6の二面体群D3とはこれ如何に」については,以下のような意味合いらしい.

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【1】二面体群

 正n角形の表と裏を区別することから二面体群と呼ばれるが,その位数は2nである.それは中心の周りに角度2π/3だけ回転させる変換σとひとつの頂点と中心とを結ぶ直線を軸として裏返す変換τとで生成される.

  Dn=〈σ,τ|σ^n=τ^2=id,τ^-1στ=σ^-1〉

 n=3の場合,D3の位数は6であるが,x^3−sx−s=0の根をα,β,γとすると

  σ:α→β→γ→α

  τ:α→α,β→γ→β

  D3=〈σ,τ|σ^3=τ^2=id,στ=τσ^-1〉

という意味合いになる.

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【2】証明

  x^3−sx−s=(x−α)(x−β)(x−γ)=0

  α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=−s,αβγ=s

  α=−(β+γ),βγ=−α(β+γ)−s=α^2−s

 一方,

  α^3−sα−s=0より,α^2=s+s/α

このとき,u=α+2βとおくと

  u=α+2β=β−γ

  u^2=(β−γ)^2+4βγ=s−3s/α

よって,

  α=−3s/(u^2−s)

  β=(u^3−su+3s)/2(u^2−s)

  γ=−(u^3−su−3s)/2(u^2−s)

が得られる.

 これらについて,

  σ(u)=−(u^3−su−9s)/2(u^2−s)

  σ^2(u)=−(u^3−su+9s)/2(u^2−s)

  τ(u)=−u

とすると

  σ:α→β→γ→α

  τ:α→α,β→γ→β

となっている.

 なお,u=α+2βは6次方程式

  x^6−6sx^4+9s^2x^2−s^2(4s−27)=0

の根になっている.これはα=−3s/(u^2−s)をx^3−sx−s=0に代入し,分母を払って整理すれば得られる.

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