■素数の並び方に規則性はあるのか?(その45)

 ラマヌジャンの関数

  {(240E4)^3−(504E6)^2}/1728=Δ

  Δ(z)=qΠ(1−q^n)^24=Στ(n)q^n

は,重さ12の保型形式

  Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて,オイラーの五角数公式を拡張した24乗版と考えられます.

 zが上半平面上を動く変数であるとき,

  γ(z)=(az+b)/(cz+d),ad−bc=1

は上半平面上の関数である.

  f(γ(z))=(cz+d)^kf(z)

を重みkの保型形式という.

===================================

【1】倍角公式

 cが偶数であるとき,

  Δ((az+2b)/(c/2・z+d))=Δ(c/2・z+d)^12Δ(z)

 ここで,z→2zと置き換えると

  Δ((2az+2b)/(cz+d))=Δ(cz+d)^12Δ(2z)

  Δ(2γ(z))=Δ(cz+d)^12Δ(2z)

  Δ(2z)=Στ(n)(2q)^n=Στ(n)q^2n

===================================

【2】半角公式

 exp(πi)=−1より

 q(z+1/2)=exp(πi)exp(2πiz)=−q(z)

 Δ(z+1/2)=Σ(−1)^nτ(n)q^n

===================================