ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

　　ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）

　　ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）

　　ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）

ですから，それぞれ２次体

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）

と関係していることは容易に想像されます．

　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．

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【１】類数と素因数分解の一意性

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちます．また，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，

　　χ（５）＝（−１／５）＝１　　（第１補充法則）

より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

とただ１通りのイデアル分解されます．

　ところが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　２，３は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

　このように，もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が２通り存在してしまう現象が起こります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．

　この状況に対して，これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます．すなわち，２，３，１±√−５は素数でなく偽物の素数である，さらに究極の数α，β，γ，δがあって，

　　２＝αβ，３＝γδ，１＋√−５＝αγ，１−√−５＝βδ

となっていて，

　　６＝αβγδ

が６の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます．

　もちろん，α，β，γ，δはＺ（√−５）の中には存在しません．素因数分解したときの素因数がすべて含まれている集合を考えるのです．

　　｛√２，（１＋√−５）／√２，（１−√−５）／√２｝

　これらが理想素元であって，

　　６＝２・３＝√２・√２・（１＋√−５）／√２・（１−√−５）／√２＝αβγδ

　　６＝（１＋√−５）（１−√−５）＝√２・（１＋√−５）／√２・√２・（１−√−５）／√２＝αδβγ

が成り立ち，いまや６の素因数分解は一意的です．

　　｛√２，（１＋√−５）／√２，（１−√−５）／√２｝

を選んだのは一見場当たり的に思えますが，のちにイデアルが導入されるとこの選択はごく自然なものだったことがわかります．イデアルの世界に至れば，ただ１通りの素因数分解が成立するようになるのです．

　以上は２次形式論に移すと，どのようなｄに対して判別式Ｄ＝ｄあるいはｄ／４の形式の同値類がただ１つになっているかということです．ガウスは証明なしにではありますが，負のｄに対してＡ（ω）が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています．この事実に最終的な証明が与えられたのが，１９６６年のベイカー・スタークの定理

　『類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

しかない』

というわけです．

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