■クンマーの定理(その12)

  x^2+y^2=(x+yi)(x−yi)

  x^2+2y^2=(x+y√−2)(x−y√−2)

  x^2−2y^2=(x+y√2)(x−y√2)

  x^2+3y^2=(x+y√−3)(x−y√−3)

ですから,それぞれ2次体

  Q(i),Q(√−2),Q(√2),Q(√−3)

と関係していることは容易に想像されます.

 Q(√d)の整数環をいかに定義すべきかが確定すると,次に,いかなるdに対してA(ω)は一意分解環になるのかが問題となります.

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【1】類数と素因数分解の一意性

 正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちます.また,Q(√−1)=Q(i)の世界では,

  χ(5)=(−1/5)=1  (第1補充法則)

より,素数5は2つの相異なる素イデアルの積となり

  5=(2+i)(2−i)

とただ1通りのイデアル分解されます.

 ところが,扱う数の範囲を広げると,既約因子の積に2通りに表されるような状況を生じます.たとえば,扱う数の範囲を整数から,

  Z(√−5)={a+b√−5|a,bは整数}

にまで拡げると,

  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)

 2,3は素数ですし,

  1+√−5,1−√−5

はいずれも

  a+b√−5

のなかには±1と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です.

 このように,もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が2通り存在してしまう現象が起こります.Q(√d)の整数環A(ω)が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは,ディリクレでした.

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【2】類体論

 2次体における素数の分解

  Q(i),Q(√−2),Q(√2),Q(√−3),Q(√3)

はいずれも類数が1であって,これらの体の整数環は一意分解整域となります.したがって,素数は素イデアルの積としてただ1通りに表されます.

 それに対して,Q(√−5)やQ(√−6)は類数が2であり,Z(√−5)やZ(√−6)は一意分解とは限らないことを意味しています.

  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)

 類数1では,p=x^2+y^2,p=x^2+2y^2,・・・の形に書ける素数の場合,Q(√−1)やQ(√−2)においてpが完全分解するための必要十分条件

  Q(√−1) ←→ 1(mod4)

  Q(√−2) ←→ 1,3(mod8)

がそのままだったのに対して,類数2では,p=x^2+5y^2,p=x^2+6y^2,・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります.

 p≠2,5でない素数とするとき

  「pが20で割ると1または9余る素数ならば,p=x^2+5y^2」

 p≠2,3でない素数とするとき

  「pが24で割ると1または7余る素数ならば,p=x^2+6y^2」

 すなわち,Q(√−5)において,pが完全分解するための必要十分条件

  1,3,7,9(mod20)

Q(√−6)において,pが完全分解するための必要十分条件

  1,5,7,11(mod20)

に較べて少しずれが生じてしまうのです.

 以上は2次形式論に移すと,どのようなdに対して判別式D=dあるいはd/4の形式の同値類がただ1つになっているかということです.ガウスは証明なしにではありますが,負のdに対してA(ω)が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています.この事実に最終的な証明が与えられたのが,1966年のベイカー・スタークの定理

 『類数が1となる虚2次体Q(√d)は

  −d=1,2,3,7,11,19,43,67,163

しかない』

というわけです.

 ついでながら,h=2なる虚2次体Q(√d)は,

  −d=5,6,10,13,15,22,35,37,51,58,91,115,123,187,235,267,403,427

の18個あります.

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