■クンマーの定理(その11)

 もし,仮に加法の素因数分解を考えれば,たとえば,

  10=3+7=5+5=2+3+5=・・・

と幾通りもの素因数分解が考えられるところである.(p(10)=41通りの方法がある.)

 それに対して,乗法の素因数分解は順序の違いを除けば1通りしかないというのが「算術の基本定理」である.

  10=2・5=5・2

 物質の世界において,原子が分裂することは一大事であるが,数の世界において,素数が分裂することは一大事である.たとえば,

  a+ib√5  (a,bは整数)

の形の数の世界を考えると,この世界では

  21=3×7=(4+i√5)(4−i√5)

のように素因数分解の一意性が成り立たない.

  Z(i),Z(√−2),Z(√2),Z(√3),Z(√6)

など,Z(√m)という形の環(mは平方因子をもたない整数)でユークリッド整域になるものは20個くらいしかないことが知られていることを補足しておきたい.そこには大切な法則ながあるに違いない.

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 Q(i)の整数環は一意分解整域である.つまり,どの整数a+biも素数の積で,順序は無視して一通りに表される.さらにこの環は整除のアルゴりズムが定義されるユークリッド整域である.

 整数環Zもユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Zはn=1の円分体Q(ξn)の整数環と考えられる.

 虚2次体の単数が±1でないものが2つある.

  Q(i)→±1,±i

  Q(ω)→((−1+i√3)/2))^j,j=0〜5

 虚2次体Q(√−d)の類数が1であるdは9個ある.

  d=1,2,3,7,11,19,42,67,163

この体の整数は,素数の積で順序は無視して一通りに表される.ガウスはこの9個をしっていたが,他にはないということがわかったのは1966年になってからである.後半の4つ,d=19,42,67,163に対し,Q(√−d)の整数環はユークリッド整域ではないので注意.

 虚2次体Q(√−d)の類数が2となるdは9個ある.

  d=5,6,10,13,15,22,35,37,51,58,91,115,123,187,235,267,403,427

 実2次体Q(√d)の整数環がノルムの絶対値に関してユークリッド整域となるのは,次の16個である.

  d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73

整除のアルゴリズムが定義できる整域をユークリッド整域という.

 円分体Q(ξn)の整数が素数の積として一通りに表されるn(≠2 mod4)は,次の30個である.

  n=1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84

 円分体Q(ξn)の整数環は

  n=1,3,4,5,7,8,9,11,12,15,16,20,24

のとき,ユークリッド整域である.n=32のときはそうではない.

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 Q(√−2)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Q(√2)も同じ.

 Q(√−3)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Q(√3),Q(ξ3)も同じ.

 Q(ξ4)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(√−5)の類数は2.d=5はQ(√−d)の類数が2である最小のd.

Q(√5),Q(ξ5)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(√−6)の類数は2.Q(√6)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(√−7)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Q(√7),Q(ξ7)も同じ.

 Q(ξ8)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(ξ9)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(√10)の類数は2.d=10はQ(√)の類数が2となる最小のd.

 Q(√−11)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Q(√11),Q(ξ11)も同じ.

 Q(ξ12)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(√−13)の類数は2.Q(√13)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.この類数は1である.Q(ξ13)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−15)の類数は2.Q(ξ15)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(ξ16)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√17)のの整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.Q(ξ17)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−19)の整数環は一意分解整域であるが,ユークリッド整域ではない.Q(√19)の整数環はユークリッド整域である.Q(ξ19)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ20)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ21)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−22)の類数は2.

 Q(ξ24)の整数環はユークリッド整域であり,したがって一意分解整域である.

 Q(ξ25)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ27)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ28)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√29)のの整数環はユークリッド整域である.

 Q(ξ32)の整数環は一意分解整域であるが,ユークリッド整域ではない.

 Q(√33)のの整数環はユークリッド整域である.Q(ξ33)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−35)の類数は2.Q(ξ35)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ36)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−37)の類数は2.Q(√37)の整数環はユークリッド解整域である.

 Q(ξ40)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√41)の整数環はユークリッド解整域である.Q(ξ41)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−43)の整数環は一意分解整域であるが,ユークリッド整域ではない.

 Q(ξ44)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ45)の整数環は一意分解整域である.

 Q(ξ48)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−51)の類数は2.

 Q(√57)の整数環はユークリッド解整域である.

 Q(√−58)の整数環はユークリッド解整域である.

 Q(ξ60)の整数環は一意分解整域である.

 Q(√−67)の整数環は一意分解整域であるが,ユークリッド整域ではない.

 Q(√73)の類数は2.d=73はQ(√d)の類数が2である最大のd.

 Q(√79)の類数は3.d=79はQ(√d)の類数が3である最小のd.

 Q(√82)の類数は4.d=82はQ(√d)の類数が4である最小のd.

 Q(ξ84)の整数環は一意分解整域である.n=84はそうなる最大のn.

 Q(√−91)の類数は2.

 Q(√−115)の類数は2.

 Q(√−123)の類数は2.

 Q(√−163)の類数は1.d=163はQ(√−d)の類数が1である最大のd.

 Q(√−187)の類数は2.

 Q(√226)の類数は8.d=226はQ(√d)の類数が8である最小のd.

 Q(√−235)の類数は2.Q(√235)の類数は6.d=235はQ(√d)の類数が6である最小のd.

 Q(√−267)の類数は2.

 Q(√401)の類数は5.d=401はQ(√d)の類数が5である最小のd.

 Q(√−403)の類数は2.

 Q(√−427)の類数は2.d=427はQ(√−d)の類数が2である最大のd.

 Q(√577)の類数は7.d=577はQ(√d)の類数が7である最小のd.

 Q(√1129)の類数は9.d=1129はQ(√d)の類数が9である最小のd.

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