【４】クンマーの定理

最初のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのです．正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂ1，Ｂ2，・・・，Ｂp-3 の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．

クンマーの定理

フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

［補］ベルヌーイ数の分子の素因数分解は，正則素数の議論に用いられる．奇素数ｐがベルヌーイ数Ｂ1，Ｂ2，・・・，Ｂp-3の分子のいずれをも割り切らないとき「正則素数」，いずれかを割り切るとき「非正則素数」という．１００以下の非正則素数は３７，５９，６７（１８５０年）であるが，１８７４年には１０１，１０３，１３１，１４９，１５９の非正則性も示された．

ｎ　　Ｂnの分子　　　　　　　　素因数分解

０　　１

１　　１

２　　１

４　　１

６　　１

８　　１

10　　５　　　　　　　　　　　　素数

12　　６９１　　　　　　　　　　素数

14　　７　　　　　　　　　　　　素数

16　　３６１７　　　　　　　　　素数

18　　４３８６７　　　　　　　　素数

20　　１７４６１１３　　　　　　＝２８３・６１７

22　　８５４５５１３　　　　　　＝１１・１３１・５９３

24　　２３６３６４０９１　　　　＝１０３・２２４７９７

26　　８５５３１０３３　　　　　＝１３・６５７９３１

28　　２３７４９４６１０２９　　＝７・９３４９・３６２９０３

30　　８６１５８４１２７６００５＝５・１７２１・１００１２５９８１１

32　　　　　　　　　　　　　　３７・６８３・３０５０６５９２７

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円分体の類数が素数pで割り切れる素数が非正則素数ですが、100以下の素数についてまとめると

素数ｐ　　　類数　　　余り

2 1 1

3 1 1

5 1 1

7 1 1

11 1 1

13 1 1

17 1 1

19 1 1

23 3 3

29 8 8

31 9 9

37 37 0(非正則素数)

41 121 39　　　　　　　　　　　

43 211 39

47 695 37

53 4889 13

59 41241 0(非正則素数)

61 76301 51

67 853513 0(非正則素数)

71 3882809 32

73 11957417 17

79 100146415 48

83 838216959 42

87 13379363737 7

97 411322824001 53

100以下の非正則素数は37，59，67の３つのみとなります

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