【３】ウィグナー分布（エネルギー準位の固有値分布）

　対称なランダム行列Ｈを，ユニタリー変換

　　Ｈ’＝ＷＨＷ~

して，Ｈの固有値：Ｅ1，Ｅ2，・・・，Ｅnを確率変数とする同時確率分布関数

　　Ｐ｛Ｅi｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ1^2＋・・・＋Ｅn^2)/４ａ^2}Π(Ｅj−Ｅk)^β

を導出する．

　Π(Ｅj−Ｅk)は差積を表すのだが，簡単のため，ｎ＝２の場合を考えてみると，

　　Ｐ｛Ｅ1，Ｅ2｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ1^2＋Ｅ2^2)/４ａ^2}(Ｅ2−Ｅ1)^β

　２変数Ｅ1，Ｅ2（＞Ｅ1）を

　　Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2，Ｓ＝Ｅ2−Ｅ1

で置き換えると，ヤコビアンは

　　Ｊ＝ｄ（Ｅ1，Ｅ2）／ｄ（Ｅ，Ｓ）＝１／２

　したがって，

　　Ｐ｛Ｅ，Ｓ｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ^2＋Ｓ^2)/８ａ^2}Ｓ^βＪ

　　Ｐ｛Ｅ，Ｓ｝ｄＥｄＳ＝ＣＪｅｘｐ{-(Ｅ^2)/８ａ^2}ｄＥ×Ｓ^βｅｘｐ{-(Ｓ^2)/８ａ^2}ｄＳ

　よって，準位間隔がＳとＳ＋ｄＳの間に落ちる確率は

　　Ｐ｛Ｓ｝＝（定数）Ｓ^βｅｘｐ{-Ｓ^2)/８ａ^2}　　　（０＜Ｓ＜∞）

これがウィグナー分布と呼ばれる最隣接間隔分布であり，Ｓが０でないところにピークをもち，隣接する準位の反発を表す関数である．

　最隣接間隔分布は，尺度母数ａや形状母数βの値によって，

　　１次のウィグナー分布：p(s)=π/2sexp(-π/4s^2)

　　２次のウィグナー分布：p(s)=32/π^2s^2exp(-4/πs^2)

などとなるが，指数関数の引き数は前者も後者も２乗の形s^2であることに注意されたい．

［補］Ｈが実対称行列（磁場が作用せず時間反転対称性がある）のときβ＝１，Ｈが複素エルミート行列（磁場が作用して時間反転対称性が破れている）のときβ＝２．

　　Ｈ’＝ＷＨＷ~

において，Ｗが直交行列でＨがガウス分布に従う実対称行列のとき，Ｈの集合をＧＯＥ，Ｗがユニタリー行列でＨが複素エルミート行列のとき，Ｈの集合をＧＵＥという．

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　原子核物理学ではウィグナー分布と呼ばれているが，１次のウィグナー分布はレイリー分布，２次のウィグナー分布はマクスウェル分布と呼ばれる分布に一致するものである．レイリー分布は英国のレイリー卿が音響工学との関連でこの分布を発見したことに由来し，マクスウェル分布は気体分子の速度分布と関係した物理学上の重要な分布関数になっている．

　これらは一般にはχ分布と呼ばれるクラスに属し，ｎ次元正規分布おける原点からのユークリッド距離の確率分布として導きだされるものである．その意味で，レイリー分布・マクスウェル分布は，いわゆる２次元・３次元標的問題の解となる分布である．

自由度　　　ワイブル分布　　　χ分布　　　　　　　　非心χ分布

　１　　　　指数分布　　　　　半正規分布　　　　　　折り重ね正規分布

　２　　　　レイリー分布　　　レイリー分布　　　　　ライス分布

　３　　　　ワイブル分布　　　マクスウェル分布　　　非心χ分布

　レイリー分布は形状母数２のワイブル分布であるが，この分布は２つの顔をもっていて，χ分布において自由度２としたものでもある．すなわち，形状母数２のワイブル分布は，特別な性格をもつのである．

　　１）レイリー分布はワイブル分布の１種であり，ポアソン過程で生成された個々の点の最近接点との距離の分布となっている．

　　２）レイリー分布は自由度２のχ分布であり，自由度２のχ^2分布は指数分布であるから，レイリー分布は指数分布にしたがう確率変数の平方根の分布と理解することができる． 　

　ｎ次元におけるχ分布の密度関数は

　　p(x)=1/(2^(n/2-1)Γ(n/2))σnexp{-r2/2σ2}r^(n-1)

であるが，その導出に関してはコラム「標的問題の解とχ分布」を参照されたい．とくに，自由度１のχ分布は，半正規分布であり，この分布は期待値が０の正規分布をｙ軸(x=0)で折り返した分布になっている．また，自由度２のχ分布がレイリー分布，自由度３のχ分布がマクスウェル分布と命名されていることは前述したとおりである．

　量子系のエネルギー準位間に強い反発が生じると，エネルギー準位の最近接間隔分布はウィグナー分布に一致する．一方，可積分系では準位間の反発がなく，指数分布

　　p(s)=exp(-s)

にしたがう．近可積分系のときには，ウィグナー分布とポアソン分布の中間をとるのだが，実際，最隣接間隔分布は中間の分布になることが多いという．

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