数学者モンゴメリーは零点が一直線上に並んでいるかどうかではなく、零点同士の間隔に注目しました。不規則な素数と関係あるはずの零点が比較的均等に並んでいる

(sinπu/πu)^2

という式が、物理学者ダイソンが見つけた重い原子核のエネルギーレベルの間隔を表す式

(sinπr/πr)^2

にそっくりだったのです。

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オイラーはどうやってζ（ｓ）を発見したのでしょうか。オイラーは三角関数ｓｉｎｘの展開式（無限次多項式）が

ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3 ／３！＋ｘ^5 ／５！−ｘ^7 ／７！＋・・・

のようになることを知っていました。また、ｓｉｎｘはｘ＝ｋπ（ｋ：整数）で０になります。すなわち、方程式ｓｉｎｘ＝０にはｘ＝０，ｘ＝±π，ｘ＝±２π，・・・のように無限個の解が存在することになります。

　したがって、ｓｉｎｘを因数分解して無限積表示すると

ｓｉｎｘ

＝ｘΠ（１−ｘ／ｋπ）

＝・・・（１＋ｘ／２π）（１＋ｘ／π）ｘ（１−ｘ／π）（１−ｘ／２π）・・・

＝ｘ（１−ｘ^2 ／π^2 ）（１−ｘ^2 ／２^2 π^2 ）（１−ｘ^2 ／３^2 π^2 ）・・・

＝ｘΠ（１−ｘ^2 ／ｋ^2 π^2 ）

となります。この無限積を展開して、無限次多項式の係数と比較します。たとえば、ｘ3 の係数を比較することにより

ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2 ／６

が得られます。ｘ^5 ，ｘ^7 ，・・・の係数同士を等号で結ぶとζ（４）＝π^4 ／９０，ζ（６）＝π^6 ／９４５，・・・も同様に得られます。

　ｃｏｓｘ＝１−ｘ^2 ／２！＋ｘ^4 ／４！−ｘ^6 ／６！＋・・・

についても同じような方法を適用し、

１／１^2＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋１／７^2 ＋・・・＝π^2 ／８

さらに、２（１／１^2 ＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋１／７^2 ＋・・・）−（１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・）

＝１／１^2 −１／２^2 ＋１／３^2 −１／４^2 ＋・・・＝π^2 ／１２

を得ることができます。

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