ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

に対して

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3

　　ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4

には，等式を満たすような整数の組み合わせがないことをオイラーが証明．しかし，さすがのオイラーも５より大きいベキについては匙を投げた．

［１］ｘ^5＋ｙ^5＝ｚ^5　　（ディリクレ，１８２９年）

［２］ｘ^7＋ｙ^7＝ｚ^7　　（ラメ，１８３９年）

［３］ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n，ｎ＜１００　　（クンマー，１８５７年） には，等式を満たすような整数の組み合わせがないことが証明される．

［４］１９８０年代に入って，フライが，もし，ａ^n＋ｂ^n＝ｃ^nを満たす解があるとすると，楕円曲線

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−ａ^n）（ｘ＋ｂ^n）

が得られる．しかし，これは極めて異様なことと考えられた．例えば，多項式

（ｘ−ａ^n）（ｘ＋ｂ^n）＝ｘ^2-ｘ（ａ^n-ｂ^n）-ａ^nｂ^n

の根の存在を決定する判別式

Δ＝（ａ^n-ｂ^n）^2+4ａ^nｂ^n

Δ^1/2＝ａ^n+ｂ^n＝ｃ^n

は完全なｎ乗式である．彼の楕円曲線は話がうますぎて，信じられない性質をもっていることに気づいたのである．

［５］リベットはフライの状況証拠説を証明，フライ曲線がモジュラー関数によってパラメライズされえない，すなわち，谷山・志村予想が正しければフェルマー予想も正しいことを意味する．いまやこの問題は谷山・志村予想を証明するだけという状況になった．

［６］そして，ワイルズが谷山・志村予想を証明，したがって，フェルマー予想も正しい．

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