■フェルマーの最終定理と楕円曲線(その42)

【2】楕円曲線とモジュラー形式

アイゼンシュタイン級数を用いると,ラマヌジャン関数は,

Δ(z)=(E4(z)^3-E6(z)^2)/1728=Στ(n)z^n

=z+τ(2)z^2+τ(3)z^3+・・・  (カスプ形式)

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実は任意のモジュラー形式はE4(z)とE6(z)の多項式である.

  f(z)=F(E4(z),E6(z))

これは相当に驚くべき定理である.たとえば,重み0のモジュラー形式は

  j(γ(z))=j(z)

すなわち,モジュラー群で不変な上半平面上の解析関数である.

  j(z)=E4^3/Δ

として構成することができる.そのq展開は

  j(z)=1/q+744+196884q+21493760q^2+・・・

で,1/qから始まる.その係数は,モンスター・ムーンシャインと関係していることは良く知られている.

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