【３】ｑ展開

　　F(q)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

において，ｎ＝１の場合の因子をΠの前にだす．２５次以上の項は省略してＱ25と書くことにすると，

　　F(q)=q(1-q)^2(1-q^11)^2Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　 =q(1-2q+q^2)(1-2q^11+q^22)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　　 =(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　ｎ＝２の場合の因子をΠの前にだす．

　　F(q)=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-q^2)^2(1-q^22)^2Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　　　　=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-2q^2+q^4)(1-2q^22+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　　　　=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-2q^2+q^4-2q^22+4q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　　　　=(q-2q^2-q^3+4q^4-q^5-2q^6+q^7-2q^12+4q^13+2q^14-8q^15+2q^16+4q^17-2q^18-q^23+2q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　以下，ｎ＝３，４，５，・・・の場合の因子をΠの前にだすという根気のいる計算が続く．結局，手計算はあきらめて阪本ひろむ氏にmathematicaで計算してもらうことになった．

　　F(q)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2

　　 =q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7-2q^9-2q^10+q^11-2q^12+4q^13+4q^14-q^15-4q^16-2q^17+4q^18+2q^20+2q^21-2q^22-q^23-4q^25-8q^26+5q^27-4q^28+2q^30+･･･

　この結果，

　　ｐ　　２　　３　　５　　７　　１１　　１３　　１７　　１９　　２３

　　Ｎp 　４　　４　　４　　９　　１０　　　９　　１９　　１９　　２４

　　c(p)−２　−１　　１　−２　　　１　　　４　　−２　　　０　　−１であるから，Ｎp＋c(p)＝ｐという関係が成り立つことが確かめられた．

　F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数

　　φ(s)=Σc(n)/n^s

を定義する．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数

　　ζ(s)=Σ1/n^s

を一般化したものである．ラマヌジャンは，このとき，

　　L(s;Ｅ)=φ(s)

を予想している．

　この予想は，１９５４年，アイヒラーが楕円曲線：ｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2のゼータ関数と保型形式：F(z)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2のゼータ関数が，すべての素数に対して一致することを示すことによって解決されたのである（アイヒラー・井草）．

　アイヒラーが示したラマヌジャン予想「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」は，ゼータの統一の先駆けであったのだが，これは谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）の特別な場合に相当している．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝