位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られる．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるが，６や１５の有限体はない．

　有理変換（メビウス変換）

　　ｚ’＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換するが，ここでａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝０，ｄ＝１とおくと

　　ｚ’＝ｚ＋１

となるから，周期性とは有理変換によって不変，

　　ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｆ（ｚ）

の特別な場合

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

にすぎないことがわかる．

　有理変換によって不変な関数は存在し「保型関数」と呼ばれている．とはいっても

　　ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｆ（ｚ）

では条件が厳しすぎるので，ある程度のずれは許すことにして，

　　ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝（ｃｚ＋ｄ）^2ｆ（ｚ）

を重さ２の保型形式という．

楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ　　（ｍｏｄ　ｐ）の整数点の個数をＮpとすると，重さ２の保型関数のｑ展開

　　F(z)=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･=c(n)q^n,q=exp(2πiz)

がＮp＋c(p)＝ｐという関係をもつことをみた．

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【１】もうひとつの重さ２の保型形式

　デデキントのイータ関数，

　　η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)

において，関数

　　F(z)=η(z)^2η(11z)^2

　　 =qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･

　　 =c(n)q^n,q=exp(2πiz)

を考える．c(n)はF(z)のフーリエ係数である．

　F(z)は，

　　ad-bc=1,c=0(mod 11すなわち１１の倍数)

なる任意の整数a,b,c,dに対して

　　F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)

を満たすから，F(z)は重さ２の保型関数である．

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