【２】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆ2

　Ｆ2で（ｘ，ｙ）の組み合わせは（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）の４通りである．また，演算表は

　　（＋）　　　　　　　　　　（×）　　　　　　

　　ｘ＼ｙ　　０　　１　　　　ｘ＼ｙ　　０　　１

　　　０　　　０　　１　　　　　０　　　０　　０

　　　１　　　１　　０　　　　　１　　　０　　１

となる．

　−がはいると面倒だから，ｙ^2＋ｘ＝ｘ^3で確かめることにすると

　　（０，０）→○

　　（０，１）→×

　　（１，０）→○

　　（１，１）→×

すなわち，Ｆ2において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０）の２個である．

　ところで，Ｆ2ではｘ＋１はｘ−１に置き換えられるからｘ^3−ｘはｘ（ｘ−１）^2と因数分解される．重根をもつからｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線ではない．

　重根がない場合はよい還元であるが，悪い還元（重根をもつ場合）であっても２重根の範囲にとどまるならばｐで乗法的還元をもつ，３重根になるならｐで加法的還元をもつという．そして，どの素数ｐで還元してもよい還元または乗法的還元しかもたないとき，その楕円曲線を半安定な楕円曲線と呼ぶ．すなわち，半安定な楕円曲線とはどの素数ｐで還元しても高々２重根どまりの楕円曲線のことである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆ3

　Ｆ3での演算表は

　　（＋）　　　　　　　　　　　　　（×）　　　　　　　　　

　　ｘ＼ｙ　　０　　１　　２　　　　ｘ＼ｙ　　０　　１　　２

　　　０　　　０　　１　　２　　　　　０　　　０　　０　　０

　　　１　　　１　　２　　０　　　　　１　　　０　　１　　２

　　　２　　　２　　０　　１　　　　　２　　　０　　２　　１

　９点について，ｙ^2＋ｘ＝ｘ^3で確かめることにすると

　（０，０）→○　　　（０，１）→×　　　（０，２）→×

　（１，０）→○　　　（１，１）→×　　　（１，２）→×

　（２，０）→○　　　（２，１）→×　　　（２，２）→×

　Ｆ3において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０），（２，０）の３個である．また，Ｆ3でｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線（よい還元）である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆp

　演算表は割愛するが，Ｆ5において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０），（４，０），（２，１），（３，２），（３，３），（２，４）の７個である．また，Ｆ5でｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線（よい還元）である．

　以下，Ｆpでの整数点の個数をＮpとすると

　　ｐ　　２　　３　　５　　７　　１１　　１３　　１７　　１９　　２３

　　Ｎp 　２　　３　　７　　７　　１１　　　７　　１５　　１９　　２３

となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝