ゼータ関数は，整数をわたる無限和（ディリクレ級数）

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s

として定義される関数である．

　また，ゼータ関数は素数全体をわたる無限積

　　ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

　　　　　　＝Π（1+1/p^s+1/p^2n+1/p^3n+･･･）

　　　　　　＝（1+1/2^s+1/2^2n+1/2^3n+･･･）（1+1/3^s+1/3^2n+1/3^3n+･･･）（1+1/5^s+1/5^2n+1/5^3n+･･･）･･･

に等しいことがわかっている．右辺

　　Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

はディリクレ級数を丸ごと素因数分解したようなものであって，オイラー積と呼ばれる．

　リーマン予想は，一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を精密化する問題と考えることができる．リーマン予想は素数定理と切っても切り放せない関係なのである．

　部分積分により

　　∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ＝ｘ／ｌｏｇｘ＋１！ｘ／（ｌｏｇｘ）^2＋・・・＋（ｍ−１）！ｘ／（ｌｏｇｘ）^m＋・・・ であるから，素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえるだろう．そこで素数に関する未解決問題を解くにはリーマン予想の証明が重要になってくるのである．

　素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえる．それからの自然な流れとして，π（ｘ）の第２項は何かという問題がおこってくるが，誤差項

　　Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）

において，ｘ→∞のとき，ｌｏｇｘはｘに較べて十分小さいのでこれを無視して「ほぼｘの１乗に等しい」と考えることができる．

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　素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問であったのだが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立にリーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明した．

　彼らが素数定理を証明したとき，実際に示したのは

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−ｃ(ｌｏｇｘ)^(1/2)））

が成り立つということであった．すなわち，誤差項のｌｏｇｘは無視できるので，ｘの１乗に等しいということになる．

　この誤差項はゼータ関数の零点の非存在に依存していて，Ｏ（ｘ^e）と表されるとすると，ゼータ関数の零点の実部の最大値に等しくなることがわかっている．したがって，もしリーマン予想「リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部はすべて１／２である」が正しければ，この近似を

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^(1/2)ｌｏｇｘ）

のようにもっとよくすることができる（フォン・コッホ，１９０１年）．

　ランダムなデータの誤差項はＯ（ｘ^(1/2)）程度であろうというのが，ガウス分布の考え方である．しかし，素数定理の誤差評価はＯ（ｘ^1）であり，ｘ^(1/2)はおろかｘ^(3/4)，さらにはｘ^(9999/10000)さえも証明されていない．現在知られている最良の評価

　　Ｏ（ｘｅｘｐ（−ｃ(ｌｏｇｘ)^(0.6)(ｌｏｇｌｏｇｘ)^(0.2)）

もＯ（ｘ^(1/2)）と較べるとまだはるかに迂遠である．

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