リーマン予想（１８５９年）とは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の複素零点の実部はすべて１／２であるという仮説，すなわち

　　「ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある」

というのが有名な予想であるが，１４０年以上経たいまも証明されないままになっている．そのため，数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多い．（なお，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）を指標χに関するディリクレのＬ関数Ｌ（χ，ｓ）に置き換えたものが一般リーマン予想である．）

　ｓ＝１／２という直線は，関数等式

　　ζ（ｓ）←→ζ（１−ｓ）

の中心軸で，より対称な形で書くと

　　ξ（ｓ）＝π^(-s/2)Γ（ｓ／２）ζ（ｓ）

に対して

　　ξ（ｓ）＝ξ（１−ｓ）

である．

　ゼータ関数の最初の複素零点は

　　ζ（１／２＋ｉ１４．１３４７２５・・・）＝０

であるが，

　　ζ（１／２＋ｉ２１．０２２０４０・・・）＝０

　　ζ（１／２＋ｉ２５．０１０８５６・・・）＝０

と続く．

　リーマン予想がもっともらしいという根拠は多数あり，

ａ）ｓ＝１／２の線上に無限個の零点がある（ハーディ・リトルウッド，１９１４年）

ｂ）０＜ｓ＜１の零点の少なくとも４０％以上がｓ＝１／２の線上にある（コンリー，１９８９年）

ｃ）少なくとも最初の３０億個はこの線上にある（テ・リール，１９８６年）

等々．

　また，ヒルベルトは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の零点がランダム・エルミート行列の固有値のように分布していると推測し，１９１５年頃，ポリアとともにゼータ関数の零点をスペクトルとして解釈できないだろうかと提案した．この予想にについてはよくわかったかというと疑問があるが，リーマン予想が正しいとしてみよう．

　すると，ζ(s)の零点がs=-2,-4,･･･,-2n,･･･とs=1/2+itの線上にあるという図式は宇宙創成の図という見方，すなわち，整然とした世界から，s=1/2の軸でビックバンが起こり，その後，多数の素粒子（素数）が生成される雑然とした世界へ・・・となり，小生お気に入りの幾何学的図式となる．これでその本質が見える形で理解できるようになったならばよいのだが・・・

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